Упр.21.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$y=0$$, $$x=1$$, $$x=2$$;
• б) $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$, $$y=0$$, $$x=1$$, $$x=9$$;
• в) $$y=-\frac{1}{x^2}$$, $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=-3$$;
• г) $$y=\frac{2}{\sqrt{x}}$$, $$y=0$$, $$x=1$$, $$x=4$$.

Найдём площадь фигуры как определённый интеграл от функции на заданном промежутке.

1. $$y=\frac{1}{x^2},\quad y=0,\quad x=1,\quad x=2$$

   На отрезке $$[1;2]$$ функция положительна, поэтому

   $$S=\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x^2}\,dx=\int\limits_{1}^{2}x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{2}=-\frac12+1=\frac12.$$

   Ответ: $$\frac12$$.

2. $$y=\frac{1}{\sqrt{x}},\quad y=0,\quad x=1,\quad x=9$$

   На отрезке $$[1;9]$$ функция положительна, поэтому

   $$S=\int\limits_{1}^{9}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int\limits_{1}^{9}x^{-\frac12}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{1}^{9}=2\cdot 3-2\cdot 1=4.$$

   Ответ: $$4$$.

3. $$y=-\frac{1}{x^2},\quad y=0,\quad x=-1,\quad x=-3$$

   На отрезке $$[-3;-1]$$ функция отрицательна, поэтому площадь равна модулю интеграла:

   $$S=-\int\limits_{-3}^{-1}\left(-\frac{1}{x^2}\right)\,dx=\int\limits_{-3}^{-1}x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{-3}^{-1}=1-\frac13=\frac23.$$

   Ответ: $$\frac23$$.

4. $$y=\frac{2}{\sqrt{x}},\quad y=0,\quad x=1,\quad x=4$$

   На отрезке $$[1;4]$$ функция положительна, поэтому

   $$S=\int\limits_{1}^{4}\frac{2}{\sqrt{x}}\,dx=\int\limits_{1}^{4}2x^{-\frac12}\,dx=\left.4\sqrt{x}\right|_{1}^{4}=4\cdot 2-4\cdot 1=4.$$

   Ответ: $$4$$.