Упр.21.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=x^3+2$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=2$$; б) $$y=-x^2+4x$$, $$y=0$$; в) $$y=4-x^2$$, $$y=0$$; г) $$y=-x^3+1$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=-2$$.
Найдём площадь фигуры как определённый интеграл от верхней функции на заданном промежутке.
$$y=x^3+2,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=2$$
На отрезке $$[0;2]$$ функция $$y=x^3+2$$ положительна, значит
$$S=\int\limits_0^2 (x^3+2)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}+2x\right)\Bigg|_0^2= \frac{16}{4}+4=8.$$
Ответ: $$8$$.
$$y=-x^2+4x,\quad y=0$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$-x^2+4x=0$$
$$x(x-4)=0$$
$$x=0,\quad x=4.$$
На отрезке $$[0;4]$$ функция неотрицательна, поэтому
$$S=\int\limits_0^4 (-x^2+4x)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\Bigg|_0^4$$
$$=-\frac{64}{3}+32=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.$$
Ответ: $$10\frac{2}{3}$$.
$$y=4-x^2,\quad y=0$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$4-x^2=0$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
На отрезке $$[-2;2]$$ функция положительна, значит
$$S=\int\limits_{-2}^2 (4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^2$$
$$=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.$$
Ответ: $$10\frac{2}{3}$$.
$$y=-x^3+1,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=-2$$
На отрезке $$[-2;0]$$ функция $$y=-x^3+1$$ положительна, поэтому
$$S=\int\limits_{-2}^0 (-x^3+1)\,dx=\left(-\frac{x^4}{4}+x\right)\Bigg|_{-2}^0$$
$$=0-\left(-\frac{16}{4}-2\right)=6.$$
Ответ: $$6$$.
