Упр.21.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 21.43. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
   
   а) $$y=x^2$$, $$y=0$$, $$x=4$$;
   
   б) $$y=x^3$$, $$y=0$$, $$x=-3$$, $$x=1$$;
   
   в) $$y=x^2$$, $$y=0$$, $$x=-3$$;
   
   г) $$y=x^4$$, $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=2$$.

Найдём площадь каждой фигуры как определённый интеграл по модулю функции на указанном промежутке.

1. $$S=\int\limits_{0}^{4}x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{4}=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}.$$

2. На отрезке $$[-3;0]$$ функция $$y=x^3$$ отрицательна, а на отрезке $$[0;1]$$ — положительна, поэтому

   $$S=-\int\limits_{-3}^{0}x^3\,dx+\int\limits_{0}^{1}x^3\,dx.$$

   $$S=-\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-3}^{0}+\left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{1} =\frac{81}{4}+\frac{1}{4} =\frac{82}{4} =20{,}5.$$

3. $$S=\int\limits_{-3}^{0}x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^{0}=0-\left(-\frac{27}{3}\right)=9.$$

4. $$S=\int\limits_{-1}^{2}x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^{2}=\frac{32}{5}-\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{33}{5}=6{,}6.$$

Ответ: а) $$21\frac{1}{3}$$; б) $$20{,}5$$; в) $$9$$; г) $$6{,}6$$.