Упр.21.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Дан прямолинейный неоднородный стержень $$[0;l]$$, его плотность в точке $$x$$ определяется по формуле $$\rho=\rho(x)$$. Найдите массу стержня, если:
   а) $$\rho(x)=x^2+x+1$$, $$l=6$$;
   б) $$\rho(x)=\frac{1}{(x+3)^2}$$, $$l=3$$;
   в) $$\rho(x)=-x^2+6x$$, $$l=2$$;
   г) $$\rho(x)=\frac{1}{(2x+1)^2}$$, $$l=1$$.

Масса стержня находится по формуле

$$m=\int\limits_0^l \rho(x)\,dx.$$

а)

$$m=\int\limits_0^6 (x^2+x+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_0^6.$$

$$m=\frac{6^3}{3}+\frac{6^2}{2}+6=72+18+6=96.$$

б)

$$m=\int\limits_0^3 \frac{1}{(x+3)^2}\,dx=\int\limits_0^3 (x+3)^{-2}\,dx.$$

$$m=\left(-\frac{1}{x+3}\right)\Bigg|_0^3=-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$$

в)

$$m=\int\limits_0^2 (-x^2+6x)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+3x^2\right)\Bigg|_0^2.$$

$$m=-\frac{8}{3}+12=\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}.$$

г)

$$m=\int\limits_0^1 \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx.$$

Сделаем замену: $$u=2x+1,\quad du=2\,dx,\quad dx=\frac{du}{2}.$$ Тогда

$$m=\frac{1}{2}\int\limits_1^3 u^{-2}\,du=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right)\Bigg|_1^3=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}.$$

Ответ

а) $$96$$; б) $$\frac{1}{6}$$; в) $$9\frac{1}{3}$$; г) $$\frac{1}{3}$$.