Упр.21.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Материальная точка движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону $$v=v(t)$$ (время $$t$$ измеряется в минутах, а скорость — в метрах в минуту). За какое время, считая от начала движения, точка пройдёт расстояние $$s$$ метров, если:

1. а) $$v(t)=2t-3$$, $$s=4$$;
2. б) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{t+1}}$$, $$s=2$$?

Найдём закон перемещения точки, а затем приравняем пройденный путь заданному расстоянию.

а)

$$v(t)=2t-3,\quad s=4.$$

Тогда

$$S(t)=\int_0^t (2\tau-3)\,d\tau=\left(\tau^2-3\tau\right)\Big|_0^t=t^2-3t.$$

По условию точка проходит расстояние $$4$$ м, значит

$$t^2-3t=4.$$

$$t^2-3t-4=0.$$

$$D=9+16=25,$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$

Получаем $$t_1=4,$$ $$t_2=-1.$$

Так как время не может быть отрицательным, берём $$t=4.$$

б)

$$v(t)=\frac{1}{\sqrt{t+1}},\quad s=2.$$

Тогда

$$S(t)=\int_0^t \frac{1}{\sqrt{\tau+1}}\,d\tau=2\sqrt{\tau+1}\Big|_0^t=2\sqrt{t+1}-2.$$

По условию

$$2\sqrt{t+1}-2=2.$$

$$2\sqrt{t+1}=4,$$

$$\sqrt{t+1}=2,$$

$$t+1=4,$$

$$t=3.$$

Ответ

а) $$4$$ мин; б) $$3$$ мин.