Упр.21.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой $$v=v(t)$$ (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения ($$t=0$$), если:
а) $$v(t)=3t^2-4t+1$$;
в) $$v(t)=4t^3-6t^2$$;
б) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{5t+1}}$$;
г) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{7t+4}}$$?
Путь за первые $$3$$ секунды равен
$$l=\int\limits_0^3 v(t)\,dt.$$
Если $$v(t)=3t^2-4t+1,$$ то
$$l=\int\limits_0^3 (3t^2-4t+1)\,dt=\left(t^3-2t^2+t\right)\Big|_0^3=27-18+3=12.$$
Значит, $$l=12\text{ см}.$$
Если $$v(t)=\dfrac{1}{\sqrt{5t+1}},$$ то
$$l=\int\limits_0^3 \frac{dt}{\sqrt{5t+1}}=\int\limits_0^3 (5t+1)^{-\frac12}\,dt=\frac{2}{5}\sqrt{5t+1}\Big|_0^3.$$
$$l=\frac{2}{5}\sqrt{16}-\frac{2}{5}\sqrt{1}=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1{,}2.$$
Значит, $$l=1{,}2\text{ см}.$$
Если $$v(t)=4t^3-6t^2,$$ то
$$l=\int\limits_0^3 (4t^3-6t^2)\,dt=\left(t^4-2t^3\right)\Big|_0^3=81-54=27.$$
Значит, $$l=27\text{ см}.$$
Если $$v(t)=\dfrac{1}{\sqrt{7t+4}},$$ то
$$l=\int\limits_0^3 \frac{dt}{\sqrt{7t+4}}=\int\limits_0^3 (7t+4)^{-\frac12}\,dt=\frac{2}{7}\sqrt{7t+4}\Big|_0^3.$$
$$l=\frac{2}{7}\sqrt{25}-\frac{2}{7}\sqrt{4}=\frac{10}{7}-\frac{4}{7}=\frac{6}{7}.$$
Значит, $$l=\frac{6}{7}\text{ см}.$$
Ответ: а) $$12\text{ см}$$; б) $$1{,}2\text{ см}$$; в) $$27\text{ см}$$; г) $$\frac{6}{7}\text{ см}$$.
