Упр.21.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\int_{1}^{5}\frac{dx}{\sqrt{2x-}}$$; б) $$\int_{-2}^{\frac{1}{3}}\frac{2\,dx}{\sqrt{10-3x}}$$.

а) Сделаем замену:

$$u=2x-1,\qquad du=2\,dx,\qquad dx=\frac{du}{2}.$$

Тогда

$$\int\limits_{1}^{5}\frac{dx}{\sqrt{2x-1}} =\int\limits_{1}^{5}(2x-1)^{-\frac12}dx =\left.\frac{(2x-1)^{\frac12}}{2\cdot \frac12}\right|_{1}^{5} =\left.\sqrt{2x-1}\right|_{1}^{5}.$$

Подставим пределы:

$$\sqrt{2\cdot 5-1}-\sqrt{2\cdot 1-1} =\sqrt{9}-\sqrt{1} =3-1=2.$$

Ответ: $$2$$.

б) Аналогично, положим

$$u=10-3x,\qquad du=-3\,dx,\qquad dx=-\frac{du}{3}.$$

Тогда

$$\int\limits_{-2}^{\frac13}\frac{2\,dx}{\sqrt{10-3x}} =\int\limits_{-2}^{\frac13}2(10-3x)^{-\frac12}dx =\left.-\frac{4}{3}\sqrt{10-3x}\right|_{-2}^{\frac13}.$$

Вычислим:

$$-\frac{4}{3}\sqrt{10-3\cdot \frac13} +\frac{4}{3}\sqrt{10-3\cdot(-2)} = -\frac{4}{3}\sqrt{9} +\frac{4}{3}\sqrt{16} = -\frac{4}{3}\cdot 3+\frac{4}{3}\cdot 4 =\frac{4}{3}.$$

Ответ: $$\frac{4}{3}$$.