Упр.21.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\int_{-2}^{3}|x|\,dx$$; в) $$\int_{0}^{5}|x-1|\,dx$$; б) $$\int_{-2}^{3}\left(|x-2|+4x\right)\,dx$$; г) $$\int_{-3}^{2}\left(|x-1|-2x\right)\,dx$$.

а) На отрезке $$[-2;3]$$ функция $$y=|x|$$ состоит из двух частей:

$$|x|=\begin{cases} -x, & x<0,\\ x, & x\ge 0. \end{cases}$$

Тогда

$$\int\limits_{-2}^{3}|x|\,dx = \int\limits_{-2}^{0}(-x)\,dx+\int\limits_{0}^{3}x\,dx = \left.-\frac{x^2}{2}\right|_{-2}^{0}+\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{3} =2+\frac{9}{2}=6{,}5.$$

б) На отрезке $$[-2;3]$$ имеем

$$|x-2|=\begin{cases} 2-x, & x<2,\\ x-2, & x\ge 2. \end{cases}$$

Поэтому

$$\int\limits_{-2}^{3}(|x-2|+4x)\,dx = \int\limits_{-2}^{2}(2-x+4x)\,dx+\int\limits_{2}^{3}(x-2+4x)\,dx$$

$$= \int\limits_{-2}^{2}(3x+2)\,dx+\int\limits_{2}^{3}(5x-2)\,dx = \left.\left(\frac{3x^2}{2}+2x\right)\right|_{-2}^{2} + \left.\left(\frac{5x^2}{2}-2x\right)\right|_{2}^{3} =18{,}5.$$

в) На отрезке $$[0;5]$$

$$|x-1|=\begin{cases} 1-x, & x<1,\\ x-1, & x\ge 1. \end{cases}$$

Тогда

$$\int\limits_{0}^{5}|x-1|\,dx = \int\limits_{0}^{1}(1-x)\,dx+\int\limits_{1}^{5}(x-1)\,dx = \left.(x-\frac{x^2}{2})\right|_{0}^{1} + \left.(\frac{x^2}{2}-x)\right|_{1}^{5} =8{,}5.$$

г) На отрезке $$[-3;2]$$

$$|x+1|=\begin{cases} -(x+1), & x<-1,\\ x+1, & x\ge -1. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\int\limits_{-3}^{2}(|x+1|-2x)\,dx = \int\limits_{-3}^{-1}(-x-1-2x)\,dx+\int\limits_{-1}^{2}(x+1-2x)\,dx$$

$$= \int\limits_{-3}^{-1}(-3x-1)\,dx+\int\limits_{-1}^{2}(1-x)\,dx = \left.\left(-\frac{3x^2}{2}-x\right)\right|_{-3}^{-1} + \left.(x-\frac{x^2}{2})\right|_{-1}^{2} =11{,}5.$$

Ответ: а) $$6{,}5$$; б) $$18{,}5$$; в) $$8{,}5$$; г) $$11{,}5$$.