Упр.21.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\int_0^4 \sqrt{4x-x^2}\,dx$$; б) $$\int_{-1}^0 (-x^2-2x)\,dx$$.

Рассмотрим подынтегральную функцию в каждом пункте как уравнение окружности.

а)

$$y=\sqrt{4x-x^2}$$

Возведём в квадрат:

$$y^2=4x-x^2$$

$$x^2-4x+y^2=0$$

$$x^2-4x+4+y^2=4$$

$$\left(x-2\right)^2+y^2=4$$

Это окружность с центром $$\left(2,0\right)$$ и радиусом $$R=2$$.

На отрезке $$0\le x\le 4$$ функция задаёт верхнюю полуокружность, значит интеграл равен площади полукруга:

$$\int\limits_0^4 \sqrt{4x-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 2^2=2\pi.$$

б)

$$y=\sqrt{-x^2-2x}$$

Возведём в квадрат:

$$y^2=-x^2-2x$$

$$x^2+2x+y^2=0$$

$$x^2+2x+1+y^2=1$$

$$\left(x+1\right)^2+y^2=1$$

Это окружность с центром $$\left(-1,0\right)$$ и радиусом $$R=1$$.

На отрезке $$-1\le x\le 0$$ функция задаёт четверть круга, поэтому

$$\int\limits_{-1}^0 \sqrt{-x^2-2x}\,dx=\frac{1}{4}\pi R^2=\frac{1}{4}\pi\cdot 1^2=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.