Упр.21.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Используя геометрические соображения, вычислите интеграл:
а) $$\int_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}\,dx$$;
в) $$\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\,dx$$;
б) $$\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{4-x^2}\,dx$$;
г) $$\int_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx$$.

Подробный ответ

Рассмотрим каждый интеграл как площадь соответствующей части круга, заданного уравнением $$x^2+y^2=R^2.$$

$$\int\limits_0^4 \sqrt{16-x^2}\,dx$$
Здесь $$y=\sqrt{16-x^2}$$ — верхняя четверть окружности радиуса $$R=4.$$ Поэтому
$$\int\limits_0^4 \sqrt{16-x^2}\,dx=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 4^2=4\pi.$$
$$\int\limits_0^{\sqrt2} \sqrt{4-x^2}\,dx$$
Это площадь части четверти круга радиуса $$R=2.$$ Точка с абсциссой $$x=\sqrt2$$ соответствует углу $$45^\circ,$$ поэтому искомая площадь равна сумме площади треугольника и площади сектора:
$$S_1=\frac12\cdot \sqrt2\cdot \sqrt2=1,$$
$$S_2=\frac{\pi\cdot 2^2\cdot 45^\circ}{360^\circ}=\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно,
$$\int\limits_0^{\sqrt2} \sqrt{4-x^2}\,dx=1+\frac{\pi}{2}.$$
$$\int\limits_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\,dx$$
Это четверть круга радиуса $$R=5,$$ значит
$$\int\limits_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\,dx=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 5^2=\frac{25\pi}{4}.$$
$$\int\limits_{-4}^4 \sqrt{64-x^2}\,dx$$
Здесь изображена верхняя полуокружность радиуса $$R=8.$$ Интеграл равен площади всей верхней полуокружности:
$$\int\limits_{-4}^4 \sqrt{64-x^2}\,dx=2\left(\frac{\pi\cdot 8^2\cdot 30^\circ}{360^\circ}+\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot 4\right).$$
Вычислим:
$$2\left(\frac{16\pi}{3}+8\sqrt3\right)=\frac{32\pi}{3}+16\sqrt3.$$