Упр.21.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$\int_{0}^{t}3(2x-1)\,dx\le\frac{1}{3}\ln 3,\quad t>0$$; б) $$\int_{-4}^{t}\left(2x-5-\frac{1}{x+5}\right)\,dx\ge-30-\ln(t+5),\quad t>-4$$.

а) Вычислим интеграл:

$$\int_0^t 3^{2x-1}\,dx=\left(\frac{3^{2x-1}}{2\ln 3}\right)\Bigg|_0^t=\frac{3^{2t-1}-3^{-1}}{2\ln 3}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{3^{2t-1}-\frac13}{2\ln 3}\le \frac{1}{3\ln 3}.$$

Так как $$2\ln 3>0,$$ умножим на $$2\ln 3$$:

$$3^{2t-1}-\frac13\le \frac23.$$

$$3^{2t-1}\le 1,$$

$$3^{2t-1}\le 3^0,$$

$$2t-1\le 0,$$

$$t\le \frac12.$$

С учётом условия $$t>0$$ получаем:

$$t\in\left(0;\frac12\right].$$

б) Найдём первообразную:

$$\int \left(2x-5-\frac{1}{x+5}\right)\,dx=x^2-5x-\ln|x+5|+C.$$

Тогда

$$\int_{-4}^t \left(2x-5-\frac{1}{x+5}\right)\,dx=\left(x^2-5x-\ln|x+5|\right)\Bigg|_{-4}^t.$$

Подставим пределы:

$$t^2-5t-\ln(t+5)-\left((-4)^2-5(-4)-\ln 1\right)\ge -30-\ln(t+5).$$

Так как $$\ln 1=0,$$ получаем

$$t^2-5t-\ln(t+5)-36\ge -30-\ln(t+5).$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$t^2-5t-6\ge 0.$$

$$\left(t-6\right)\left(t+1\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le -1 \quad \text{или} \quad t\ge 6.$$

С учётом условия $$t>-4$$ получаем:

$$t\in(-4;-1]\cup[6;+\infty).$$

Ответ

а) $$t\in\left(0;\frac12\right]$$; б) $$t\in(-4;-1]\cup[6;+\infty).$$