Упр.21.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\int_{0}^{t}(e^x-3x^2-2x)\,dx=e^t-3$$;
   б) $$\int_{3}^{t}\left(\frac{1}{x-2}+2x^3\right)\,dx=\ln(t-2)-t^3+6$$, $$t>3$$.

а) Вычислим интеграл:

$$\int_0^t \left(e^x-3x^2-2x\right)\,dx=\left(e^x-x^3-x^2\right)\Big|_0^t=e^t-t^3-t^2-1.$$

По условию:

$$e^t-t^3-t^2-1=e^t-3.$$

Тогда

$$t^3+t^2-2=0,$$

$$(t-1)(t^2+2t+2)=0.$$

Отсюда $$t=1$$, так как уравнение $$t^2+2t+2=0$$ действительных корней не имеет.

б) Вычислим интеграл:

$$\int_3^t \left(\frac{1}{x-2}+2x-3\right)\,dx=\left(\ln|x-2|+x^2-3x\right)\Big|_3^t.$$

Так как $$t>3,$$ то $$|t-2|=t-2,$$ и получаем

$$\ln(t-2)+t^2-3t-\bigl(\ln(1)+9-9\bigr)=\ln(t-2)+t^2-3t.$$

По условию:

$$\ln(t-2)+t^2-3t=\ln(t-2)-t^3+6.$$

Тогда

$$t^3+t^2-3t-6=0,$$

$$(t-2)(t^2+3t+3)=0.$$

Единственный действительный корень этого уравнения $$t=2,$$ но он не удовлетворяет условию $$t>3.$$

Следовательно, корней нет.

Ответ: а) $$1$$; б) корней нет.