Упр.21.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\int_{0}^{x}\sin t\,dt<\frac{1}{2}$$; в) $$\int_{0}^{x}\cos t\,dt<-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}\cos 2t\,dt>\frac{\sqrt{2}}{2}$$; г) $$\int_{\pi}^{x}\sin\frac{t}{2}\,dt>\sqrt{3}$$.

а) $$\int_0^x \sin t\,dt=-\cos t\Big|_0^x=-\cos x+\cos 0=-\cos x+1.$$

Тогда

$$-\cos x+1<\frac12,$$

$$-\cos x<-\frac12,$$

$$\cos x>\frac12.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\int_{\pi/2}^x \cos 2t\,dt=\frac12\sin 2t\Big|_{\pi/2}^x=\frac12\sin 2x-\frac12\sin\pi=\frac12\sin 2x.$$

Получаем

$$\frac12\sin 2x>\frac{1}{2\sqrt2},$$

$$\sin 2x>\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<2x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\int_0^x \cos t\,dt=\sin t\Big|_0^x=\sin x-\sin 0=\sin x.$$

Тогда

$$\sin x<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\int_\pi^x \sin\frac{t}{2}\,dt=-2\cos\frac{t}{2}\Big|_\pi^x=-2\cos\frac{x}{2}+2\cos\frac{\pi}{2}=-2\cos\frac{x}{2}.$$

Получаем

$$-2\cos\frac{x}{2}>\sqrt3,$$

$$\cos\frac{x}{2}<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{5\pi}{6}+4\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$\frac{5\pi}{6}+4\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$