Упр.21.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 21.33. Решите неравенство:
   а) $$\int_0^x t\,dt<0{,}5$$;
   в) $$\int_0^x t^3\,dt<0{,}25$$;
   б) $$\int_0^x (3t^2-8t+3)\,dt>0$$;
   г) $$\int_0^x (2t+5)\,dt>6$$.

а) $$\int_0^x t\,dt=\left.\frac{t^2}{2}\right|_0^x=\frac{x^2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x^2}{2}<0{,}5,$$

$$x^2<1,$$

$$x^2-1<0,$$

$$(x-1)(x+1)<0.$$

Отсюда

$$x\in(-1;1).$$

б) $$\int_0^x (3t^2-8t+3)\,dt=\left.(t^3-4t^2+3t)\right|_0^x=x^3-4x^2+3x.$$

Получаем неравенство

$$x^3-4x^2+3x>0,$$

$$x(x^2-4x+3)>0,$$

$$x(x-1)(x-3)>0.$$

По знакам множителей:

$$x\in(0;1)\cup(3;+\infty).$$

в) $$\int_0^x t^3\,dt=\left.\frac{t^4}{4}\right|_0^x=\frac{x^4}{4}.$$

Тогда

$$\frac{x^4}{4}<0{,}25,$$

$$x^4<1,$$

$$x^4-1<0,$$

$$(x-1)(x+1)(x^2+1)<0.$$

Так как $$x^2+1>0,$$ то

$$x\in(-1;1).$$

г) $$\int_0^x (2t+5)\,dt=\left.(t^2+5t)\right|_0^x=x^2+5x.$$

Получаем

$$x^2+5x>6,$$

$$x^2+5x-6>0,$$

$$(x+6)(x-1)>0.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-6)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-1;1)$$; б) $$(0;1)\cup(3;+\infty)$$; в) $$(-1;1)$$; г) $$(-\infty;-6)\cup(1;+\infty).$$