Упр.21.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каком значении параметра $$a$$ уравнение имеет только один корень: а) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^x \sin t\,dt=a-x^2$$; $$\int_0^x \cos t\,dt=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+a$$?

а) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\sin t\,dt=a-x^2.$$

Вычислим интеграл:

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\sin t\,dt=-\cos t\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{x}=-\cos x+\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$-\cos x=a-x^2,$$

или

$$\cos x=x^2-a.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\cos x$$ и $$y=x^2-a.$$

Чтобы уравнение имело только один корень, парабола должна касаться графика косинуса в единственной точке. Это возможно в вершине параболы, то есть при $$x=0.$$

Тогда

$$\cos 0=0^2-a,$$

$$1=-a,$$

$$a=-1.$$

Проверка:

при $$a=-1$$ получаем

$$\cos x=x^2+1.$$

Так как $$\cos x\le 1$$ и $$x^2+1\ge 1,$$ равенство возможно только при $$x=0.$$ Значит, корень единственный.

Ответ: $$a=-1.$$

б) $$\int_{0}^{x}\cos t\,dt=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+a.$$

Вычислим интеграл:

$$\int_{0}^{x}\cos t\,dt=\sin t\Big|_{0}^{x}=\sin x-\sin 0=\sin x.$$

Получаем уравнение

$$\sin x=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+a.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\sin x$$ и $$y=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+a.$$

Чтобы был только один корень, парабола должна касаться синусоиды в вершине, то есть при $$x=\frac{\pi}{2}.$$ Тогда

$$\sin\frac{\pi}{2}=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)^2+a,$$

$$1=a.$$

Проверка:

при $$a=1$$ имеем

$$\sin x=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+1.$$

Так как $$\sin x\le 1$$ и $$\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+1\ge 1,$$ равенство возможно только при $$x=\frac{\pi}{2}.$$ Следовательно, корень единственный.

Ответ: $$a=1.$$