Упр.21.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сколько корней имеет уравнение:
   а) $$\int_0^x \cos t\,dt=\frac{1}{4}x$$;
   б) $$\int_0^x \sin t\,dt=0{,}2x$$?

а) Вычислим интеграл:

$$\int\limits_0^x \cos t\,dt=\sin t\Big|_0^x=\sin x-\sin 0=\sin x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sin x=\frac14x.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\sin x$$ и $$y=\frac14x$$. Они пересекаются в трёх точках, значит, уравнение имеет 3 корня.

б) Вычислим интеграл:

$$\int\limits_0^x \sin t\,dt=-\cos t\Big|_0^x=-\cos x+\cos 0=1-\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$1-\cos x=0{,}2x,$$

или

$$\cos x=1-0{,}2x.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\cos x$$ и $$y=1-0{,}2x$$. Они пересекаются в пяти точках, значит, уравнение имеет 5 корней.

Ответ: а) 3; б) 5.