Упр.21.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\int_{-1}^{1}\frac{8x^3+36x^2+54x+2}{2x+3}\,dx$$; в) $$\int_{0}^{2}\frac{x^3-27}{x^2+3x+9}\,dx$$; б) $$\int_{0}^{1}\frac{x^4-18x^2+81}{x^2-6x+9}\,dx$$; г) $$\int_{1}^{2}\frac{x^3-6x}{x^2+4x+16}\,dx$$.

а) $$\int_{-1}^{1}\frac{8x^3+36x^2+54x+27}{2x+3}\,dx$$

Разложим числитель на множители:

$$8x^3+36x^2+54x+27=(2x+3)^3.$$

Тогда

$$\int_{-1}^{1}\frac{(2x+3)^3}{2x+3}\,dx=\int_{-1}^{1}(2x+3)^2\,dx=\int_{-1}^{1}(4x^2+12x+9)\,dx.$$

$$\int(4x^2+12x+9)\,dx=\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x\right)\Bigg|_{-1}^{1}=\left(\frac{4}{3}+6+9\right)-\left(-\frac{4}{3}+6-9\right)=20\frac{2}{3}.$$

б) $$\int_{0}^{1}\frac{x^4-18x^2+81}{x^2-6x+9}\,dx$$

$$x^4-18x^2+81=(x^2-9)^2,\qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$$

Тогда

$$\frac{(x^2-9)^2}{(x-3)^2}=\frac{(x-3)^2(x+3)^2}{(x-3)^2}=(x+3)^2.$$

Получаем

$$\int_{0}^{1}(x+3)^2\,dx=\int_{0}^{1}(x^2+6x+9)\,dx.$$

$$\int(x^2+6x+9)\,dx=\frac{x^3}{3}+3x^2+9x.$$

$$\left(\frac{x^3}{3}+3x^2+9x\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{3}+3+9=\frac{37}{3}=12\frac{1}{3}.$$

в) $$\int_{0}^{2}\frac{x^3-27}{x^2+3x+9}\,dx$$

Разложим числитель:

$$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9).$$

Тогда

$$\int_{0}^{2}\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x^2+3x+9}\,dx=\int_{0}^{2}(x-3)\,dx.$$

$$\int(x-3)\,dx=\frac{x^2}{2}-3x.$$

$$\left(\frac{x^2}{2}-3x\right)\Bigg|_{0}^{2}=\left(2-6\right)-0=-4.$$

г) $$\int_{1}^{2}\frac{x^3-64}{x^2+4x+16}\,dx$$

$$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16).$$

Следовательно,

$$\int_{1}^{2}\frac{(x-4)(x^2+4x+16)}{x^2+4x+16}\,dx=\int_{1}^{2}(x-4)\,dx.$$

$$\int(x-4)\,dx=\frac{x^2}{2}-4x.$$

$$\left(\frac{x^2}{2}-4x\right)\Bigg|_{1}^{2}=\left(2-8\right)-\left(\frac{1}{2}-4\right)=-6+\frac{7}{2}=-\frac{5}{2}=-2{,}5.$$

Ответ: а) $$20\frac{2}{3}$$; б) $$12\frac{1}{3}$$; в) $$-4$$; г) $$-2{,}5$$.