Упр.21.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\int_0^x \cos^2 t\,dt=\frac{x}{2}$$
Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:
$$\int_0^x \cos^2 t\,dt = \int_0^x \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \left(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}\right)\Bigg|_0^x = \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}.$$
Тогда
$$\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}=\frac{x}{2}$$
$$\sin 2x=0$$
$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi n}{2}$$
б) $$\int_0^x \cos 2t\,dt+\int_{\pi/4}^x \sin 2t\,dt=0$$
Вычислим интегралы:
$$\int_0^x \cos 2t\,dt=\frac{1}{2}\sin 2x,$$
$$\int_{\pi/4}^x \sin 2t\,dt = \left(-\frac{\cos 2t}{2}\right)\Bigg|_{\pi/4}^x = -\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2} = -\frac{\cos 2x}{2}.$$
Получаем:
$$\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=0$$
$$\sin 2x-\cos 2x=0$$
$$\tg 2x=1$$
$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$
в) $$2\int_0^x \sin^2 t\,dt=x$$
Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:
$$2\int_0^x \sin^2 t\,dt = 2\int_0^x \frac{1-\cos 2t}{2}\,dt = \int_0^x (1-\cos 2t)\,dt = \left(t-\frac{\sin 2t}{2}\right)\Bigg|_0^x = x-\frac{\sin 2x}{2}.$$
Тогда
$$x-\frac{\sin 2x}{2}=x$$
$$\sin 2x=0$$
$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi n}{2}$$
г) $$\int_0^x \bigl(2\cos 2t+6\cos 6t\bigr)\,dt=0$$
Интегрируем:
$$\int_0^x \bigl(2\cos 2t+6\cos 6t\bigr)\,dt = \left(\sin 2t+\sin 6t\right)\Bigg|_0^x = \sin 2x+\sin 6x.$$
Следовательно,
$$\sin 2x+\sin 6x=0$$
$$2\sin 4x\cos 2x=0$$
Отсюда:
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$
$$4x=\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi n}{4}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi n}{4}\ \text{или}\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$.
