Упр.21.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 21.28. Решите уравнение:
   
   а) $$\int_{\frac{1}{4}}^{x}\frac{dt}{\sqrt{t}}=x$$;
   
   в) $$\int_{5}^{x}\frac{dt}{\sqrt{2t-1}}=4$$;
   
   б) $$\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{2t+4}}=2$$;
   
   г) $$\int_{2}^{x}\frac{dt}{\sqrt{t+2}}=2$$.

1. $$\int\limits_{\frac14}^{x}\frac{dt}{\sqrt t}=x$$

   $$\int\limits_{\frac14}^{x} t^{-\frac12}\,dt=\left(2\sqrt t\right)\Bigg|_{\frac14}^{x}=2\sqrt x-2\sqrt{\frac14}=2\sqrt x-1.$$

   Тогда

   $$2\sqrt x-1=x,$$

   $$x-2\sqrt x+1=0,$$

   $$\left(\sqrt x-1\right)^2=0,$$

   $$\sqrt x=1,\quad x=1.$$

2. $$\int\limits_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{2t+4}}=2$$

   $$\int\limits_{0}^{x}(2t+4)^{-\frac12}\,dt=\left(\sqrt{2t+4}\right)\Bigg|_{0}^{x}=\sqrt{2x+4}-\sqrt4.$$

   Получаем

   $$\sqrt{2x+4}-2=2,$$

   $$\sqrt{2x+4}=4,$$

   $$2x+4=16,$$

   $$2x=12,\quad x=6.$$

3. $$\int\limits_{5}^{x}\frac{dt}{\sqrt{2t-1}}=4$$

   $$\int\limits_{5}^{x}(2t-1)^{-\frac12}\,dt=\left(\sqrt{2t-1}\right)\Bigg|_{5}^{x}=\sqrt{2x-1}-\sqrt{9}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{2x-1}-3=4,$$

   $$\sqrt{2x-1}=7,$$

   $$2x-1=49,$$

   $$2x=50,\quad x=25.$$

4. $$\int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\sqrt{t+2}}=2$$

   $$\int\limits_{2}^{x}(t+2)^{-\frac12}\,dt=\left(2\sqrt{t+2}\right)\Bigg|_{2}^{x}=2\sqrt{x+2}-2\sqrt4.$$

   Следовательно,

   $$2\sqrt{x+2}-4=2,$$

   $$2\sqrt{x+2}=6,$$

   $$\sqrt{x+2}=3,$$

   $$x+2=9,\quad x=7.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$6$$; в) $$25$$; г) $$7$$.