Упр.21.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Зная, что $$\int_{3}^{6} f(x)\,dx=12$$, найдите:
   а) $$\int_{1}^{2} f(3x)\,dx$$;
   б) $$\int_{-2{,}5}^{-1} f(1-2x)\,dx$$.

Сделаем замену переменной.

а)

Пусть $$t=3x,$$ тогда $$dt=3\,dx,$$ то есть $$dx=\frac{dt}{3}.$$

При $$x=1$$ получаем $$t=3,$$ при $$x=2$$ получаем $$t=6.$$ Тогда

$$\int_{1}^{2} f(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int_{3}^{6} f(t)\,dt = \frac{1}{3}\cdot 12 = 4.$$

б)

Пусть $$t=1-2x,$$ тогда $$dt=-2\,dx,$$ то есть $$dx=-\frac{dt}{2}.$$

При $$x=-2{,}5$$ получаем $$t=6,$$ при $$x=-1$$ получаем $$t=3.$$ Следовательно,

$$\int_{-2{,}5}^{-1} f(1-2x)\,dx = -\frac{1}{2}\int_{6}^{3} f(t)\,dt = \frac{1}{2}\int_{3}^{6} f(t)\,dt = \frac{1}{2}\cdot 12 = 6.$$

Ответ: а) $$4$$; б) $$6$$.