Упр.21.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\int_{-1}^{1} \left(|x-1|+|x+1|\right)\,dx$$; б) $$\int_{-4}^{0} \left(|x-2|+|x+3|\right)\,dx$$; в) $$\int_{1}^{2} \left(|x-1|+|x+1|\right)\,dx$$; г) $$\int_{-4}^{4} \left(|x-2|+|x+3|\right)\,dx$$.

а) На отрезке $$[-1;1]$$ имеем $$|x-1|=1-x$$ и $$|x+1|=x+1$$, поэтому

$$\int_{-1}^{1} (|x-1|+|x+1|)\,dx = \int_{-1}^{1} \bigl((1-x)+(x+1)\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1} 2\,dx =2x\Big|_{-1}^{1}=4.$$

б) Разобьём отрезок $$[-4;0]$$ точкой $$x=-3$$:

$$\int_{-4}^{0} (|x-2|-|x+3|)\,dx = \int_{-4}^{-3} \bigl((2-x)-(x+3)\bigr)\,dx + \int_{-3}^{0} \bigl((2-x)-(-x-3)\bigr)\,dx.$$

Тогда

$$\int_{-4}^{-3} (-2x-1)\,dx+\int_{-3}^{0} 5\,dx = \left(-x^2-x\right)\Big|_{-4}^{-3}+5x\Big|_{-3}^{0} =11.$$

в) На отрезке $$[1;2]$$ имеем $$|x-1|=x-1$$ и $$|x+1|=x+1$$, значит

$$\int_{1}^{2} (|x-1|+|x+1|)\,dx = \int_{1}^{2} (x-1+x+1)\,dx = \int_{1}^{2} 2x\,dx = x^2\Big|_{1}^{2}=3.$$

г) Разобьём отрезок $$[-4;4]$$ точками $$x=-3$$ и $$x=2$$:

$$\int_{-4}^{4} (|x-2|-|x+3|)\,dx = \int_{-4}^{-3} 5\,dx + \int_{-3}^{2} (-2x-1)\,dx + \int_{2}^{4} (-5)\,dx.$$

Вычисляем:

$$5x\Big|_{-4}^{-3} + \left(-x^2-x\right)\Big|_{-3}^{2} -5x\Big|_{2}^{4} = 5+(-4)-10=-5.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$11$$; в) $$3$$; г) $$-5$$.