Упр.21.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\int_{2}^{3}\left(|x^2-4|+2x\right)\,dx$$;
   б) $$\int_{0}^{1}\left(|x^2+2|+|x-5|\right)\,dx$$;
   в) $$\int_{-2}^{2}\left(|x^2-4|+2x\right)\,dx$$;
   г) $$\int_{-2}^{-1}\left(|x^4+2x^2+3|+|x+1|\right)\,dx$$.

а) На отрезке $$[2;3]$$ имеем $$x^2-4\ge 0$$, значит $$|x^2-4|=x^2-4$$.

$$\int_{2}^{3} (|x^2-4|+2x)\,dx = \int_{2}^{3} (x^2-4+2x)\,dx = \int_{2}^{3} (x^2+2x-4)\,dx.$$

$$\int (x^2+2x-4)\,dx=\frac{x^3}{3}+x^2-4x,$$

$$\int_{2}^{3} (x^2+2x-4)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}+x^2-4x\right)\Bigg|_{2}^{3} = \left(9+9-12\right)-\left(\frac{8}{3}+4-8\right) = 7\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$7\frac{1}{3}$$.

б) На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$x^2+2>0$$ и $$x-5<0$$, поэтому $$|x^2+2|=x^2+2$$, $$|x-5|=5-x$$.

$$\int_{0}^{1} (|x^2+2|+|x-5|)\,dx = \int_{0}^{1} (x^2+2+5-x)\,dx = \int_{0}^{1} (x^2-x+7)\,dx.$$

$$\int (x^2-x+7)\,dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+7x,$$

$$\int_{0}^{1} (x^2-x+7)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+7x\right)\Bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+7 = 6\frac{5}{6}.$$

Ответ: $$6\frac{5}{6}$$.

в) На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$x^2-4\le 0$$, значит $$|x^2-4|=4-x^2$$.

$$\int_{-2}^{2} (|x^2-4|+2x)\,dx = \int_{-2}^{2} (4-x^2+2x)\,dx.$$

$$\int (4-x^2+2x)\,dx=4x-\frac{x^3}{3}+x^2,$$

$$\int_{-2}^{2} (4-x^2+2x)\,dx = \left(4x-\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{-2}^{2} = \left(8-\frac{8}{3}+4\right)-\left(-8+\frac{8}{3}+4\right) = 10\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$10\frac{2}{3}$$.

г) На отрезке $$[-2;-1]$$ выражение $$x^4+2x^2+3>0$$, а также $$x+1\le 0$$, поэтому $$|x^4+2x^2+3|=x^4+2x^2+3$$, $$|x+1|=-x-1$$.

$$\int_{-2}^{-1} (|x^4+2x^2+3|+|x+1|)\,dx = \int_{-2}^{-1} (x^4+2x^2+3-x-1)\,dx = \int_{-2}^{-1} (x^4+2x^2-x+2)\,dx.$$

$$\int (x^4+2x^2-x+2)\,dx=\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x,$$

$$\int_{-2}^{-1} (x^4+2x^2-x+2)\,dx = \left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{-1} = 14\frac{11}{30}.$$

Ответ: $$14\frac{11}{30}$$.