Упр.21.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Вычислите:

а) $$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x)\,dx$$, где
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{2}{\cos^2(2x)}-1,& x<0,\\[4pt]\sin\left(\dfrac{x}{2}\right),& x\geq 0;\end{cases}$$
б) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x)\,dx$$, где
$$f(x)=\begin{cases}-\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right),& x\leq 0,\\[4pt]\dfrac{1}{\sqrt{x+1}},& x>0.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Разобьём интеграл в точке $$x=0$$:

$$\int_{-\pi/6}^{\pi/3} f(x)\,dx = \int_{-\pi/6}^{0}\left(\frac{2}{\cos^2 2x}-1\right)dx + \int_{0}^{\pi/3}\sin\frac{x}{2}\,dx.$$

Вычислим каждый интеграл:

$$\int\left(\frac{2}{\cos^2 2x}-1\right)dx = \tan 2x-x,$$

поэтому

$$\int_{-\pi/6}^{0}\left(\frac{2}{\cos^2 2x}-1\right)dx = \left(\tan 2x-x\right)\Big|_{-\pi/6}^{0} = 0-\left(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}-\frac{\pi}{6}.$$

Далее

$$\int_{0}^{\pi/3}\sin\frac{x}{2}\,dx = -2\cos\frac{x}{2}\Big|_{0}^{\pi/3} = -2\cos\frac{\pi}{6}+2\cos 0 = -\sqrt{3}+2.$$

Тогда

$$\int_{-\pi/6}^{\pi/3} f(x)\,dx = \left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}\right)+(-\sqrt{3}+2) = 2-\frac{\pi}{6}.$$

б) Снова разобьём интеграл в точке $$x=0$$:

$$\int_{-\pi/2}^{3} f(x)\,dx = \int_{-\pi/2}^{0}-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)dx + \int_{0}^{3}\frac{dx}{\sqrt{x+1}}.$$

Используем тождество

$$-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos x.$$

Тогда

$$\int_{-\pi/2}^{0}\cos x\,dx = \sin x\Big|_{-\pi/2}^{0} = 0-(-1)=1.$$

И

$$\int_{0}^{3}\frac{dx}{\sqrt{x+1}} = \int_{0}^{3}(x+1)^{-1/2}dx = 2\sqrt{x+1}\Big|_{0}^{3} = 2\sqrt{4}-2\sqrt{1} = 4-2=2.$$