Упр.21.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите $$\int_0^2 f(x)\,dx$$, если:
   а) $$f(x)=\begin{cases}4x, & x\leqslant 1,\\4x^3, & x>1;\end{cases}$$
   б) $$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}, & 0\leqslant x\leqslant 1,\\\frac{1}{x}, & x>1.\end{cases}$$

Разобьём интеграл по точке разрыва функции:

а) $$\int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^1 4^x\,dx+\int_1^2 4x^3\,dx.$$

Вычислим каждый интеграл:

$$\int_0^1 4^x\,dx=\left.\frac{4^x}{\ln 4}\right|_0^1=\frac{4-1}{\ln 4}=\frac{3}{\ln 4},$$

$$\int_1^2 4x^3\,dx=\left.x^4\right|_1^2=16-1=15.$$

Тогда

$$\int_0^2 f(x)\,dx=15+\frac{3}{\ln 4}.$$

б) $$\int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^1 \sqrt{x}\,dx+\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx.$$

Вычислим:

$$\int_0^1 \sqrt{x}\,dx=\int_0^1 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^1=\frac{2}{3},$$

$$\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx=\left.\ln|x|\right|_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$$

Следовательно,

$$\int_0^2 f(x)\,dx=\ln 2+\frac{2}{3}.$$

Ответ

а) $$15+\frac{3}{\ln 4}$$; б) $$\ln 2+\frac{2}{3}$$.