Упр.21.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\int_{-3}^{6} f(x)\,dx$$, где $$f(x)=\begin{cases}x^2,& -3\leq x\leq 2,\\6-x,& x>2;\end{cases}$$
   б) $$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)\,dx$$, где $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}},& 01.\end{cases}$$

Разобьём каждый интеграл по точкам, в которых меняется задание функции.

а)

$$\int_{-3}^{6} f(x)\,dx=\int_{-3}^{2} x^2\,dx+\int_{2}^{6} (6-x)\,dx$$

$$\int_{-3}^{2} x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^{2}=\frac{8}{3}-\left(-\frac{27}{3}\right)=\frac{35}{3}$$

$$\int_{2}^{6} (6-x)\,dx=\left.(6x-\frac{x^2}{2})\right|_{2}^{6}=(36-18)-(12-2)=8$$

$$\int_{-3}^{6} f(x)\,dx=\frac{35}{3}+8=\frac{59}{3}=19\frac{2}{3}$$

б)

$$\int_{1/4}^{2} f(x)\,dx=\int_{1/4}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx+\int_{1}^{2} x^3\,dx$$

$$\int_{1/4}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int_{1/4}^{1} x^{-1/2}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{1/4}^{1}=2-1=1$$

$$\int_{1}^{2} x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{1}^{2}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$$

$$\int_{1/4}^{2} f(x)\,dx=1+\frac{15}{4}=\frac{19}{4}=4{,}75$$

Ответ

а) $$19\frac{2}{3}$$; б) $$4{,}75$$.