Упр.21.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}$$; в) $$\int_{0}^{1}\frac{0{,}1}{x+1}\,dx$$; б) $$\int_{1}^{2}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)\,dx$$; г) $$\int_{1}^{2}\left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)\,dx$$.

Вычислим интегралы, используя формулы:

$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\qquad \int e^x\,dx=e^x+C,\qquad \int \frac{dx}{x+1}=\ln|x+1|+C.$$

1. $$\int_1^2 \frac{dx}{x}=\ln|x|\Big|_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$$

2. $$\int_1^2 \left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=\left(e^x+\ln|x|\right)\Big|_1^2=(e^2+\ln 2)-(e+\ln 1)=e^2-e+\ln 2.$$

3. $$\int_0^1 \frac{0{,}1}{x+1}\,dx=0{,}1\ln|x+1|\Big|_0^1=0{,}1\ln 2-0{,}1\ln 1=0{,}1\ln 2.$$

4. $$\int_1^2 \left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)dx=\left(\frac12 e^{2x}+2\ln|x|\right)\Big|_1^2$$

   $$=\left(\frac12 e^4+2\ln 2\right)-\left(\frac12 e^2+2\ln 1\right)=\frac12\left(e^4-e^2\right)+2\ln 2.$$

Ответ: а) $$\ln 2$$; б) $$e^2-e+\ln 2$$; в) $$0{,}1\ln 2$$; г) $$\frac12\left(e^4-e^2\right)+2\ln 2$$.