Упр.21.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\int_{0}^{4} e^{0,5x-1}\,dx$$; в) $$\int_{-4}^{4} e^{0,25x+1}\,dx$$; б) $$\int_{-1}^{1} e^{2x+1}\,dx$$; г) $$\int_{-0,5}^{0} e^{-2x+2}\,dx$$.

Вычислим интегралы по формуле

$$\int e^{kx+b}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx+b}+C.$$

1. $$\int_0^4 e^{0{,}5x-1}\,dx=\frac{1}{0{,}5}e^{0{,}5x-1}\Big|_0^4=2e^{0{,}5x-1}\Big|_0^4.$$

   $$2e^{0{,}5\cdot 4-1}-2e^{0{,}5\cdot 0-1}=2e-2e^{-1}=2e-\frac{2}{e}.$$

2. $$\int_{-1}^1 e^{2x+1}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x+1}\Big|_{-1}^1.$$

   $$\frac{1}{2}e^{2\cdot 1+1}-\frac{1}{2}e^{2\cdot(-1)+1}=\frac{1}{2}e^3-\frac{1}{2}e^{-1}=\frac{1}{2}e^3-\frac{1}{2e}.$$

3. $$\int_{-4}^4 e^{0{,}25x+1}\,dx=\frac{1}{0{,}25}e^{0{,}25x+1}\Big|_{-4}^4=4e^{0{,}25x+1}\Big|_{-4}^4.$$

   $$4e^{0{,}25\cdot 4+1}-4e^{0{,}25\cdot(-4)+1}=4e^2-4e^0=4e^2-4.$$

4. $$\int_{-0{,}5}^0 e^{-2x+2}\,dx=-\frac{1}{2}e^{-2x+2}\Big|_{-0{,}5}^0.$$

   $$-\frac{1}{2}e^2-\left(-\frac{1}{2}e^{-2\cdot(-0{,}5)+2}\right)=-\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}e^3=\frac{e^2}{2}(e-1).$$

Ответ: а) $$2e-\frac{2}{e}$$; б) $$\frac{1}{2}e^3-\frac{1}{2e}$$; в) $$4e^2-4$$; г) $$\frac{e^2}{2}(e-1)$$.