Упр.21.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\int_{0}^{\pi}\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\cos x-\sin x\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\right)\,dx$$;

б) $$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}}\left(\cos 2x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)-\sin 2x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\right)\,dx$$.

Подробный ответ

а) Используем формулу синуса разности:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\cos x-\sin x\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\sin\left(\frac{\pi}{3}+x-x\right) =\sin\frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\int\limits_0^\pi \left(\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\cos x-\sin x\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\right)\,dx =\int\limits_0^\pi \frac{\sqrt3}{2}\,dx =\frac{\sqrt3}{2}\,x\Big|_0^\pi =\frac{\pi\sqrt3}{2}.$$

б) Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos 2x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)-\sin 2x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right) =\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}-x\right) =\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$\int\limits_{\pi/3}^{5\pi/6}\left(\cos 2x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)-\sin 2x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\right)\,dx =\int\limits_{\pi/3}^{5\pi/6}\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx.$$

$$\int\limits_{\pi/3}^{5\pi/6}\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx =\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\Big|_{\pi/3}^{5\pi/6} =\sin\frac{7\pi}{6}-\sin\frac{2\pi}{3} =-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}.$$