Упр.21.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 21.1. Вычислите определенный интеграл:
   а) $$\int_{-\frac{2}{3}}^{1}$$;
   б) $$\int_{1}^{3}\frac{dx}{x^2}$$;
   в) $$\int_{-1}^{2}x^4\,dx$$;
   г) $$\int_{4}^{9}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$.

Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона–Лейбница.

1. $$\int\limits_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-\frac{2}{3}}^{1}=\frac{1^4}{4}-\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^4}{4}=\frac{1}{4}-\frac{16}{324}=\frac{81-16}{324}=\frac{65}{324}.$$

2. $$\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{x^2}=\int\limits_{1}^{3}x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{3}=-\frac{1}{3}-\left(-1\right)=\frac{2}{3}.$$

3. $$\int\limits_{-1}^{2}x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^{2}=\frac{2^5}{5}-\frac{(-1)^5}{5}=\frac{32}{5}+\frac{1}{5}=\frac{33}{5}.$$

4. $$\int\limits_{4}^{9}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int\limits_{4}^{9}x^{-\frac12}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{4}^{9}=2\sqrt{9}-2\sqrt{4}=6-4=2.$$

Ответ: $$\frac{65}{324};\ \frac{2}{3};\ \frac{33}{5};\ 2.$$