Упр.20.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Установите, является ли функция $$y=F(x)$$ первообразной для функции $$y=f(x)$$:

   $$F(x)=\begin{cases}\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{2}{3}x^3, & x\ge 0,\\ -\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{2}{3}x^3, & x<0,\end{cases}\qquad f(x)=|x|(x^3+2x);$$

   б) $$F(x)=\begin{cases}\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-25x+83\dfrac{1}{3}, & x<-5,\ x\ge 5,\\ -\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+25x-83\dfrac{1}{3}, & |x|<5,\end{cases}\qquad f(x)=|x^2-25|+x.$$

а) Рассмотрим два случая.

Если $$x \ge 0,$$ то $$F(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{2}{3}x^3,$$ поэтому

$$F'(x)=x^4+2x^2=x^2(x^2+2).$$

Так как при $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x,$$ то

$$f(x)=|x|(x^3+2x)=x(x^3+2x)=x^4+2x^2.$$

Если $$x<0,$$ то $$F(x)=-\frac{x^5}{5}-\frac{2}{3}x^3,$$ значит

$$F'(x)=-x^4-2x^2.$$

При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x,$$ поэтому

$$f(x)=|x|(x^3+2x)=-x(x^3+2x)=-x^4-2x^2.$$

Следовательно, во всех случаях $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

б) Если $$x<-5$$ или $$x\ge 5,$$ то $$|x^2-25|=x^2-25,$$ и

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-25x+83\frac{1}{3}$$

или

$$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+25x-83\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$F'(x)=x^2+x-25=(x^2-25)+x=f(x).$$

Если $$|x|<5,$$ то $$|x^2-25|=25-x^2,$$ и

$$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+25x-83\frac{1}{3},$$

откуда

$$F'(x)=-x^2+x+25=(25-x^2)+x=f(x).$$

Значит, и в этом случае $$F'(x)=f(x)$$, то есть $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

Ответ: а) да; б) да.