Упр.20.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Установите, является ли функция $$y=F(x)$$ первообразной для функции $$y=f(x)$$ на промежутке $$X$$:

а) $$F(x)=3\cos x-x^6,\quad f(x)=-3\sin x-6x^5,\quad X=\mathbb{R};$$
б) $$F(x)=-4\sin x+\frac{2}{x^3},\quad f(x)=4\cos x-\frac{6}{x^2},\quad X=(0;+\infty);$$
в) $$F(x)=2\sqrt{x}-\frac{4}{(3x+1)^4},\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{16}{(3x+1)^5},\quad X=(0;+\infty);$$
г) $$F(x)=\frac{13}{x^2}-2\sin(4x+5),\quad f(x)=\frac{26}{x}-2\cos(4x+5),\quad X=(-\infty;0).$$

Подробный ответ

$$F(x)=3\cos x-x^6$$
$$F'(x)=3(-\sin x)-6x^5=-3\sin x-6x^5=f(x)$$
Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}$$.
$$F(x)=-4\sin x+\frac{2}{x^3}$$
$$F'(x)=-4\cos x+\left(2x^{-3}\right)’=-4\cos x-6x^{-4}=-4\cos x-\frac{6}{x^4}$$
Это не совпадает с $$f(x)$$, значит, $$F(x)$$ не является первообразной для $$f(x)$$ на $$\left(0;+\infty\right)$$.
$$F(x)=2\sqrt{x}-\frac{4}{(3x+1)^4}$$
$$F'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-\;4\cdot(-4)(3x+1)^{-5}\cdot 3$$
$$F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{48}{(3x+1)^5}$$
Следовательно, $$F'(x)\ne f(x)$$, и функция $$F(x)$$ не является первообразной для $$f(x)$$ на $$\left(0;+\infty\right)$$.
$$F(x)=\frac{13}{x^2}-2\sin(4x+5)$$
$$F'(x)=13(-2)x^{-3}-2\cos(4x+5)\cdot 4=-\frac{26}{x^3}-8\cos(4x+5)$$
Это не совпадает с $$f(x)$$, значит, $$F(x)$$ не является первообразной для $$f(x)$$ на $$(-\infty;0)$$.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет.

Оцени решение

Общая оценка

4.2 / 5

Другие учебники