Упр.20.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$f(x)=\lvert x^2-4\rvert+x$$
- б) $$f(x)=\lvert x^2-9\rvert-6x$$
Найдём производную функции $$F(x)$$ на каждом промежутке и сравним её с $$f(x)$$.
а)
Если $$|x|>2,$$ то
$$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-4x+\frac{16}{3},$$
поэтому
$$F'(x)=x^2+x-4.$$
При $$|x|>2$$ имеем $$x^2-4>0,$$ значит
$$|x^2-4|=x^2-4,$$
и тогда
$$f(x)=|x^2-4|+x=x^2-4+x=x^2+x-4.$$
Следовательно, $$F'(x)=f(x).$$
Если $$|x|<2,$$ то
$$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+4x-\frac{16}{3},$$
откуда
$$F'(x)=-x^2+x+4.$$
При $$|x|<2$$ имеем $$x^2-4<0,$$ значит
$$|x^2-4|=-(x^2-4)=4-x^2,$$
и потому
$$f(x)=|x^2-4|+x=4-x^2+x=-x^2+x+4.$$
Значит, и здесь $$F'(x)=f(x).$$
Итак, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x).$$
б)
Если $$|x|>3,$$ то
$$F(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-9x,$$
поэтому
$$F'(x)=x^2-6x-9.$$
При $$|x|>3$$ имеем $$x^2-9>0,$$ значит
$$|x^2-9|=x^2-9,$$
и тогда
$$f(x)=|x^2-9|-6x=x^2-9-6x=x^2-6x-9.$$
Следовательно, $$F'(x)=f(x).$$
Если $$|x|<3,$$ то
$$F(x)=-\frac{x^3}{3}-3x^2+9x-36,$$
откуда
$$F'(x)=-x^2-6x+9.$$
При $$|x|<3$$ имеем $$x^2-9<0,$$ значит
$$|x^2-9|=-(x^2-9)=9-x^2,$$
и потому
$$f(x)=|x^2-9|-6x=9-x^2-6x=-x^2-6x+9.$$
Значит, и здесь $$F'(x)=f(x).$$
Итак, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x).$$
Ответ
В обоих пунктах $$F'(x)=f(x)$$ на соответствующих промежутках, значит $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x).$$
