Упр.20.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При $$x \in (1;+\infty)$$ имеем $$|x^2-1|=x^2-1$$, так как $$x^2-1>0$$. Тогда

$$F(x)=|x^2-1|-3x=x^2-1-3x=x^2-3x-1.$$

Найдём производную:

$$F'(x)=2x-3=f(x).$$

Что и требовалось доказать.

б) При $$x \in (-1;1)$$ имеем $$|x^2-1|=1-x^2$$, так как $$x^2-1<0$$. Тогда

$$F(x)=|x^2-1|+8x=1-x^2+8x=-x^2+8x+1.$$

Найдём производную:

$$F'(x)=-2x+8=f(x).$$

Что и требовалось доказать.

в) При $$x \in (3;+\infty)$$ имеем $$|x^2+1|=x^2+1$$ и $$|x-3|=x-3$$. Тогда

$$F(x)=|x^2+1|+|x-3|=x^2+1+x-3=x^2+x-2.$$

Найдём производную:

$$F'(x)=2x+1=f(x).$$

Что и требовалось доказать.

г) При $$x \in (-\infty;0)$$ имеем $$|x|=-x$$, а также $$x^4+3x^2+1>0$$, значит

$$F(x)=|x^4+3x^2+1|+|x|=x^4+3x^2+1-x.$$

Тогда

$$F'(x)=4x^3+6x-1.$$

Но $$f(x)=4x^3+6x^2-1$$, поэтому

$$F'(x)\ne f(x).$$

Следовательно, в пункте г) равенство не выполняется.

Ответ

а), б), в) — $$F'(x)=f(x)$$; г) — $$F'(x)\ne f(x)$$.