Упр.20.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\int \frac{dx}{\sin^2 x\cos^2 x}$$; б) $$\int \frac{\cos 2x\,dx}{\sin^2 x\cos^2 x}$$.

а) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ тогда

$$\int \frac{dx}{\sin^2 x\cos^2 x} = \int \frac{4\,dx}{\sin^2 2x}.$$

Положим $$u=2x,$$ тогда $$du=2\,dx,$$ и

$$\int \frac{4\,dx}{\sin^2 2x} = 2\int \frac{du}{\sin^2 u} = 2\int \csc^2 u\,du = -2\ctg u + C.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$\int \frac{dx}{\sin^2 x\cos^2 x}=-2\ctg 2x + C.$$

б) Преобразуем числитель:

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.$$

Тогда

$$\int \frac{\cos 2x\,dx}{\sin^2 x\cos^2 x} = \int \frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}\,dx = \int \left(\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{\cos^2 x}\right)dx.$$

Интегрируем:

$$\int \left(\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{\cos^2 x}\right)dx = \int \csc^2 x\,dx-\int \sec^2 x\,dx = -\ctg x-\tg x + C.$$

Так как

$$\ctg x+\tg x=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\sin x\cos x} =\frac{1}{\sin x\cos x} =\frac{2}{\sin 2x},$$

то

$$\int \frac{\cos 2x\,dx}{\sin^2 x\cos^2 x} = -\frac{2}{\sin 2x}+C.$$

Ответ

а) $$-2\ctg 2x + C$$

б) $$-\dfrac{2}{\sin 2x} + C$$