Упр.20.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\int \sin^2 x\,dx$$; в) $$\int \cos^2 x\,dx$$; б) $$\int \sin^4 x\,dx$$; г) $$\int \cos^4 x\,dx$$.

Используем формулы понижения степени:

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Ход решения

1. $$\int \sin^2 x\,dx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac12\int (1-\cos 2x)\,dx.$$

   $$\int \sin^2 x\,dx=\frac12\left(x-\frac{\sin 2x}{2}\right)+C=\frac12x-\frac14\sin 2x+C.$$

2. $$\int \sin^4 x\,dx=\int \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2dx=\frac14\int (1-2\cos 2x+\cos^2 2x)\,dx.$$

   Так как $$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2},$$ получаем

   $$\int \sin^4 x\,dx=\frac14\int \left(\frac32-2\cos 2x+\frac12\cos 4x\right)dx.$$

   $$\int \sin^4 x\,dx=\frac14\left(\frac32x-\sin 2x+\frac18\sin 4x\right)+C=\frac38x-\frac14\sin 2x+\frac1{32}\sin 4x+C.$$

3. $$\int \cos^2 x\,dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx=\frac12\int (1+\cos 2x)\,dx.$$

   $$\int \cos^2 x\,dx=\frac12\left(x+\frac{\sin 2x}{2}\right)+C=\frac12x+\frac14\sin 2x+C.$$

4. $$\int \cos^4 x\,dx=\int \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2dx=\frac14\int (1+2\cos 2x+\cos^2 2x)\,dx.$$

   Подставим $$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}:$$

   $$\int \cos^4 x\,dx=\frac14\int \left(\frac32+2\cos 2x+\frac12\cos 4x\right)dx.$$

   $$\int \cos^4 x\,dx=\frac14\left(\frac32x+\sin 2x+\frac18\sin 4x\right)+C=\frac38x+\frac14\sin 2x+\frac1{32}\sin 4x+C.$$

Ответ

$$\int \sin^2 x\,dx=\frac12x-\frac14\sin 2x+C,$$

$$\int \sin^4 x\,dx=\frac38x-\frac14\sin 2x+\frac1{32}\sin 4x+C,$$

$$\int \cos^2 x\,dx=\frac12x+\frac14\sin 2x+C,$$

$$\int \cos^4 x\,dx=\frac38x+\frac14\sin 2x+\frac1{32}\sin 4x+C.$$