Упр.20.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\int \sin 2x \sin 6x\,dx$$; в) $$\int \cos 3x \cos 5x\,dx$$; б) $$\int \sin 4x \cos 3x\,dx$$; г) $$\int \sin 2x \cos 8x\,dx$$.

Используем формулы произведения тригонометрических функций:

$$\sin a \sin b=\frac12(\cos(a-b)-\cos(a+b))$$

$$\sin a \cos b=\frac12(\sin(a-b)+\sin(a+b))$$

$$\cos a \cos b=\frac12(\cos(a-b)+\cos(a+b))$$

а)

$$\int \sin 2x \sin 6x\,dx = \int \frac12(\cos 4x-\cos 8x)\,dx$$

$$= \frac12\left(\frac14\sin 4x-\frac18\sin 8x\right)+C = \frac18\sin 4x-\frac1{16}\sin 8x+C$$

б)

$$\int \sin 4x \cos 3x\,dx = \int \frac12(\sin x+\sin 7x)\,dx$$

$$= \frac12\left(-\cos x-\frac17\cos 7x\right)+C = -\frac12\cos x-\frac1{14}\cos 7x+C$$

в)

$$\int \cos 3x \cos 5x\,dx = \int \frac12(\cos 2x+\cos 8x)\,dx$$

$$= \frac12\left(\frac12\sin 2x+\frac18\sin 8x\right)+C = \frac14\sin 2x+\frac1{16}\sin 8x+C$$

г)

$$\int \sin 2x \cos 8x\,dx = \int \frac12(\sin(-6x)+\sin 10x)\,dx = \int \frac12(-\sin 6x+\sin 10x)\,dx$$

$$= \frac12\left(\frac16\cos 6x-\frac1{10}\cos 10x\right)+C = \frac1{12}\cos 6x-\frac1{20}\cos 10x+C$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } \frac18\sin 4x-\frac1{16}\sin 8x+C,\\ &\text{б) } -\frac12\cos x-\frac1{14}\cos 7x+C,\\ &\text{в) } \frac14\sin 2x+\frac1{16}\sin 8x+C,\\ &\text{г) } \frac1{12}\cos 6x-\frac1{20}\cos 10x+C. \end{aligned}$$