Упр.20.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\int(\operatorname{tg}^2 x+1)\,dx$$; в) $$\int(\operatorname{ctg}^2 x+1)\,dx$$; б) $$\int(\cos^2 x-\sin^2 x)\,dx$$; г) $$\int\sin x\cos x\,dx$$.

Используем тригонометрические тождества:

$$\tg^2 x+1=\frac{1}{\cos^2 x}, \qquad \ctg^2 x+1=\frac{1}{\sin^2 x}, \qquad \cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x, \qquad \sin x\cos x=\frac12\sin 2x.$$

1. $$\int (\tg^2 x+1)\,dx=\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\int \sec^2 x\,dx=\tg x+C.$$

2. $$\int (\cos^2 x-\sin^2 x)\,dx=\int \cos 2x\,dx=\frac12\sin 2x+C.$$

3. $$\int (\ctg^2 x+1)\,dx=\int \frac{dx}{\sin^2 x}=-\ctg x+C.$$

4. $$\int \sin x\cos x\,dx=\int \frac12\sin 2x\,dx=-\frac14\cos 2x+C.$$

Ответ: а) $$\tg x+C$$; б) $$\frac12\sin 2x+C$$; в) $$-\ctg x+C$$; г) $$-\frac14\cos 2x+C$$.