Упр.20.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите неопределённый интеграл:

а) $$\int\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2e^x-\frac{3}{x}\right)\,dx$$;

в) $$\int\left(3x^{\frac{2}{3}}-\frac{4}{\sqrt[4]{x}}+x^5\right)\,dx$$;

б) $$\int\left(\frac{1}{x^2}+x^2+3\right)\,dx$$;

г) $$\int\left(5x-\frac{1}{x^2}+x^5\right)\,dx$$.

Используем правило:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1), \qquad \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$

Ход решения

1. $$\int \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2e^x-\frac{3}{x}\right)dx$$

   Перепишем подынтегральное выражение:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac12 x^{-1/2}.$$

   Тогда

   $$\int \left(\frac12 x^{-1/2}+2e^x-\frac{3}{x}\right)dx=\sqrt{x}+2e^x-3\ln|x|+C.$$

2. $$\int \left(\frac{1}{x^2}+x^2+3\right)dx$$

   Запишем в степенях:

   $$\int \left(x^{-2}+x^2+3\right)dx=-\frac{1}{x}+\frac{x^3}{3}+3x+C.$$

3. $$\int \left(3x^{2/3}-\frac{4}{\sqrt[4]{x}}+x^5\right)dx$$

   Перепишем:

   $$\frac{4}{\sqrt[4]{x}}=4x^{-1/4}.$$

   Тогда

   $$\int \left(3x^{2/3}-4x^{-1/4}+x^5\right)dx$$

   $$=3\cdot \frac{x^{5/3}}{5/3}-4\cdot \frac{x^{3/4}}{3/4}+\frac{x^6}{6}+C$$

   $$=\frac{9}{5}x^{5/3}-\frac{16}{3}x^{3/4}+\frac{x^6}{6}+C.$$

4. $$\int \left(5^x-\frac{1}{x^2}+x^5\right)dx$$

   Используем формулы:

   $$\int 5^x\,dx=\frac{5^x}{\ln 5}+C,\qquad \int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}+C.$$

   Тогда

   $$\int \left(5^x-\frac{1}{x^2}+x^5\right)dx=\frac{5^x}{\ln 5}+\frac{1}{x}+\frac{x^6}{6}+C.$$

Ответ

а) $$\sqrt{x}+2e^x-3\ln|x|+C$$

б) $$-\frac{1}{x}+\frac{x^3}{3}+3x+C$$

в) $$\frac{9}{5}x^{5/3}-\frac{16}{3}x^{3/4}+\frac{x^6}{6}+C$$

г) $$\frac{5^x}{\ln 5}+\frac{1}{x}+\frac{x^6}{6}+C$$