Упр.20.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Исследуйте функцию $$y=F(x)$$ на монотонность и экстремумы, если известно, что она является первообразной для функции $$y=f(x)$$:
- а) $$f(x)=2x^2+5x-7$$;
- б) $$f(x)=\sqrt{5x-24}\cdot\lg(x^2-6x+6)$$;
- в) $$f(x)=2(x^2-\sqrt{x}+1)$$;
- г) $$f(x)=(x^2-5x-14)\log_2(5-2x)$$.
а) Так как $$F'(x)=f(x)=2x^2+5x-7,$$ исследуем знак производной.
Найдём нули функции:
$$2x^2+5x-7=0,$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4},\quad x_1=-\frac{7}{2},\; x_2=1.$$
Поскольку ветви параболы направлены вверх, то
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-\tfrac72)\cup(1;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\tfrac72;1).$$
Следовательно, функция $$F(x)$$ возрастает на $$(-\infty;-\tfrac72]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-\tfrac72;1].$$
Точка $$x=-\tfrac72$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
б) $$F'(x)=f(x)=\sqrt{5x-24}\cdot \lg(x^2-6x+6).$$
Область определения производной задаётся условиями:
$$5x-24\ge 0,\qquad x^2-6x+6>0.$$
Из первого неравенства получаем $$x\ge \frac{24}{5}.$$
Из второго:
$$x^2-6x+6=0,$$
$$D=36-24=12,$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{12}}{2}=3\pm \sqrt3.$$
Значит, $$x^2-6x+6>0$$ при $$x<3-\sqrt3$$ или $$x>3+\sqrt3.$$
С учётом $$x\ge \frac{24}{5}$$ получаем область определения:
$$D(F’)=\left[\frac{24}{5};+\infty\right).$$
На этой области $$\sqrt{5x-24}\ge 0,$$ а $$\lg(x^2-6x+6)\ge 0$$ при $$x^2-6x+6\ge 1,$$ то есть при
$$x^2-6x+5\ge 0,$$
$$(x-1)(x-5)\ge 0,$$
откуда $$x\le 1$$ или $$x\ge 5.$$
С учётом области определения остаётся $$x\ge 5.$$ Поэтому
$$F'(x)<0 \text{ при } x\in\left[\frac{24}{5};5\right),\qquad F'(x)>0 \text{ при } x\in(5;+\infty).$$
Следовательно, $$F(x)$$ убывает на $$\left[\frac{24}{5};5\right]$$ и возрастает на $$[5;+\infty).$$
Точка $$x=5$$ — точка минимума.
в) $$F'(x)=f(x)=2^{x^2-\sqrt{x}+1}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Так как $$2^{x^2-\sqrt{x}+1}>0$$ при всех допустимых $$x,$$ то
$$F'(x)>0 \text{ на } [0;+\infty).$$
Следовательно, $$F(x)$$ возрастает на $$[0;+\infty)$$, экстремумов нет.
г) $$F'(x)=f(x)=(x^2-5x-14)\log_2(5-2x).$$
Область определения:
$$5-2x>0,\qquad x<\frac52.$$
Найдём нули производной:
$$x^2-5x-14=0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x-7)=0,$$
откуда $$x=-2,\;7.$$
Но из области определения подходит только $$x=-2.$$
Кроме того,
$$\log_2(5-2x)=0 \;\Rightarrow\; 5-2x=1 \;\Rightarrow\; x=2.$$
Итак, критические точки: $$x=-2$$ и $$x=2.$$
На области $$x<\frac52$$ знак производной таков:
$$F'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(2;\tfrac52),$$
$$F'(x)<0 \text{ на } (-2;2).$$
Следовательно, $$F(x)$$ возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;\tfrac52)$$ и убывает на $$[-2;2].$$
Точка $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
Ответ
а) $$F(x)$$ возрастает на $$(-\infty;-\tfrac72]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-\tfrac72;1];$$ максимум при $$x=-\tfrac72,$$ минимум при $$x=1.$$
б) $$F(x)$$ убывает на $$\left[\frac{24}{5};5\right]$$ и возрастает на $$[5;+\infty);$$ минимум при $$x=5.$$
в) $$F(x)$$ возрастает на $$[0;+\infty),$$ экстремумов нет.
г) $$F(x)$$ возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;\tfrac52)$$ и убывает на $$[-2;2];$$ максимум при $$x=-2,$$ минимум при $$x=2.$$
