Упр.20.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Сравните числа $$F(a)$$ и $$F(b)$$, если известно, что $$y=F(x)$$ — первообразная для функции $$y=f(x)$$:

а) $$f(x)=x^2\ln x$$, $$a=2$$, $$b=3$$;

б) $$f(x)=\frac{x^2-6x+8}{x^3-27}$$, $$a=0$$, $$b=1$$;

в) $$f(x)=\sin 3x$$, $$a=\frac{7\pi}{6}$$, $$b=-\frac{4\pi}{3}$$;

г) $$f(x)=\sqrt[5]{x^3+2x^2-5x-6}$$, $$a=\lg 1001$$, $$b=\log_2 7$$.

Подробный ответ

Так как $$F'(x)=f(x),$$ то на промежутках, где $$f(x)>0,$$ функция $$F(x)$$ возрастает, а где $$f(x)<0,$$ — убывает.

$$f(x)=x^2\ln x,\quad a=2,\quad b=3.$$
При $$x>1$$ имеем $$x^2>0$$ и $$\ln x>0,$$ значит, $$f(x)>0.$$ Следовательно, $$F(x)$$ возрастает на $$\left(1;+\infty\right).$$ Так как $$2<3,$$ то
$$F(2)<F(3).$$
$$f(x)=\frac{x^2-6x+8}{x^3-27},\quad a=0,\quad b=1.$$
Разложим на множители:
$$\frac{x^2-6x+8}{x^3-27}=\frac{(x-2)(x-4)}{(x-3)(x^2+3x+9)}.$$
Так как $$x^2+3x+9>0$$ при всех $$x,$$ знак функции определяется выражением
$$\frac{(x-2)(x-4)}{x-3}.$$
На промежутке $$(-\infty,2)$$ функция $$f(x)<0,$$ значит, $$F(x)$$ убывает. Поскольку $$0<1,$$ получаем
$$F(0)>F(1).$$
$$f(x)=\sin^3 x,\quad a=\frac{7\pi}{6},\quad b=\frac{4\pi}{3}.$$
В третьей четверти $$\sin x<0,$$ значит, $$\sin^3 x<0.$$ Следовательно, $$F(x)$$ убывает на интервале $$\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$ Так как
$$\frac{7\pi}{6}<\frac{4\pi}{3},$$
то
$$F\left(\frac{7\pi}{6}\right)>F\left(\frac{4\pi}{3}\right).$$
$$f(x)=\sqrt[5]{x^3+2x^2-5x-6},\quad a=\lg 1001,\quad b=\log_2 7.$$
Разложим подкоренное выражение на множители:
$$x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).$$
Тогда
$$f(x)=\sqrt[5]{(x+1)(x+3)(x-2)}.$$
Пятая степень корня сохраняет знак, поэтому знак $$f(x)$$ совпадает со знаком произведения $$(x+1)(x+3)(x-2).$$ На промежутке $$x>2$$ имеем $$f(x)>0,$$ значит, $$F(x)$$ возрастает.
Сравним числа:
$$\lg 1001>\lg 1000=3,$$
$$\log_2 7<\log_2 8=3.$$
Следовательно, $$a>b,$$ а так как $$F(x)$$ возрастает при $$x>2,$$ то
$$F(a)>F(b).$$