Упр.20.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=F(x)$$ в точке $$x=a$$, если известно, что $$y=F(x)$$ — первообразная для функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=x\sin x+x^2\cos x+5$$, $$a=0$$;
б) $$f(x)=\log_2 x+\log_3(x+1)$$, $$a=8$$;
в) $$f(x)=\sqrt[3]{x^2-3x+3}$$, $$a=20$$;
г) $$f(x)=x^{1/5}-(2x)^{1/3}$$, $$a=32$$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=F(x)$$ в точке $$x=a$$ равен $$F'(a)$$. Так как $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то $$F'(x)=f(x)$$, значит, искомый коэффициент равен $$f(a)$$.

1. $$f(x)=x\sin x+x^2\cos x+5,\quad a=0.$$

   $$f(0)=0\cdot \sin 0+0^2\cdot \cos 0+5=5.$$

2. $$f(x)=\log_2 x+\log_3(x+1),\quad a=8.$$

   $$f(8)=\log_2 8+\log_3 9=3+2=5.$$

3. $$f(x)=\sqrt[3]{x^2-3x+3},\quad a=20.$$

   $$f(20)=\sqrt[3]{20^2-3\cdot 20+3}=\sqrt[3]{400-60+3}=\sqrt[3]{343}=7.$$

4. $$f(x)=x^{1/5}-(2x)^{1/3},\quad a=32.$$

   $$f(32)=32^{1/5}-(2\cdot 32)^{1/3}=2-\sqrt[3]{64}=2-4=-2.$$

Ответ: а) $$5$$; б) $$5$$; в) $$7$$; г) $$-2$$.