Упр.20.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Ускорение движения точки по координатной прямой задается формулой $$a(t)=2(t+1)^2$$. Найдите закон изменения скорости движения и закон движения, если $$v(0)=1,\ s(0)=1$$.

Так как $$a(t)=v'(t),$$ то найдём скорость интегрированием:

$$v(t)=\int 2(t+1)^2\,dt=\frac{2}{3}(t+1)^3+C.$$

Из условия $$v(0)=1$$ получаем:

$$1=\frac{2}{3}(0+1)^3+C=\frac{2}{3}+C,$$

откуда

$$C=\frac{1}{3}.$$

Значит, закон изменения скорости:

$$v(t)=\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}.$$

Теперь найдём закон движения, учитывая, что $$s'(t)=v(t):$$

$$s(t)=\int \left(\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}\right)dt =\frac{1}{6}(t+1)^4+\frac{1}{3}t+C.$$

Из условия $$s(0)=1$$ имеем:

$$1=\frac{1}{6}(0+1)^4+\frac{1}{3}\cdot 0+C=\frac{1}{6}+C,$$

следовательно,

$$C=\frac{5}{6}.$$

Итак, закон движения:

$$s(t)=\frac{1}{6}(t+1)^4+\frac{1}{3}t+\frac{5}{6}.$$

Ответ

$$v(t)=\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3},\qquad s(t)=\frac{1}{6}(t+1)^4+\frac{1}{3}t+\frac{5}{6}.$$