Упр.20.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Некоторая первообразная функции $$y=3\cos 3x+6\sin 6x$$ принимает в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке $$x=\frac{\pi}{6}$$?

Найдём первообразную функции $$y=3\cos 3x+6\sin 6x.$$

$$F(x)=\int \left(3\cos 3x+6\sin 6x\right)\,dx=\sin 3x-\cos 6x+C.$$

По условию $$F\left(\frac{\pi}{2}\right)=6,$$ значит

$$6=\sin\frac{3\pi}{2}-\cos 3\pi + C=-1-(-1)+C=C,$$

откуда $$C=6.$$

Тогда

$$F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{2}-\cos\pi+6=1-(-1)+6=8.$$

Ответ

$$8$$