Упр.20.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите ту первообразную для заданной функции $$y=f(x)$$, график которой касается заданной прямой $$y=kx+m$$: а) $$f(x)=2x$$, $$y=x+2$$; б) $$f(x)=3x^3$$, $$y=3x+5$$.

Для касания графиков в точке $$x_0$$ должны выполняться два условия:

$$F'(x_0)=k,\qquad F(x_0)=kx_0+m.$$

1. $$f(x)=2x,\qquad y=x+2.$$

   Первообразная:

   $$F(x)=x^2+C.$$

   Так как график $$F(x)$$ касается прямой $$y=x+2$$, то

   $$F'(x)=2x,\qquad 2x_0=1,\qquad x_0=\frac12.$$

   Подставим точку касания в уравнение прямой и в первообразную:

   $$F\!\left(\frac12\right)=\frac12+2=\frac52,$$

   $$\left(\frac12\right)^2+C=\frac52,$$

   $$\frac14+C=\frac52,\qquad C=\frac94.$$

   Значит,

   $$F(x)=x^2+\frac94.$$

2. $$f(x)=3x^3,\qquad y=3x+5.$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\frac34x^4+C.$$

   Условие касания даёт:

   $$F'(x)=3x^3,\qquad 3x_0^3=3,\qquad x_0=1.$$

   Тогда

   $$F(1)=3\cdot1+5=8,$$

   $$\frac34\cdot1^4+C=8,$$

   $$\frac34+C=8,\qquad C=\frac{29}{4}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac34x^4+\frac{29}{4}.$$

Ответ: а) $$F(x)=x^2+\frac94$$; б) $$F(x)=\frac34x^4+\frac{29}{4}$$.