Упр.20.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите ту первообразную для заданной функции $$y=f(x)$$, график которой касается оси $$x$$:
   а) $$f(x)=2x+3$$;
   б) $$f(x)=12(3x-1)3$$.

Найдём первообразную $$F(x)$$ и подберём константу $$C$$ так, чтобы график касался оси $$x$$, то есть имел с ней общую точку, в которой $$F(x)=0$$.

а)

$$f(x)=2x+3$$

Тогда

$$F(x)=\int (2x+3)\,dx=x^2+3x+C.$$

Чтобы график касался оси $$x$$, уравнение

$$x^2+3x+C=0$$

должно иметь один корень, значит, дискриминант равен нулю:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot C=9-4C=0.$$

Отсюда

$$C=\frac{9}{4}.$$

Следовательно,

$$F(x)=x^2+3x+\frac{9}{4}.$$

б)

$$f(x)=12(3x-1)^3$$

Тогда

$$F(x)=\int 12(3x-1)^3\,dx=(3x-1)^4+C.$$

График касается оси $$x$$, если существует точка, в которой $$F(x)=0$$. Так как $$(3x-1)^4\ge 0$$ при любых $$x$$, касание будет при $$C=0$$.

Значит,

$$F(x)=(3x-1)^4.$$

Ответ

а) $$F(x)=x^2+3x+\frac{9}{4}$$; б) $$F(x)=(3x-1)^4$$.