Упр.20.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите ту первообразную для функции $$y=f(x)$$, областью значений которой является луч $$(-\infty; 4]$$:
   а) $$f(x)=7-6x$$;
   б) $$f(x)=3-2x$$.

Для каждой функции найдём первообразную общего вида и подберём константу так, чтобы область значений полученной квадратичной функции была $$(-\infty;4].$$

а)

$$f(x)=7-6x$$

Тогда

$$F(x)=\int (7-6x)\,dx=7x-3x^2+C.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Её наибольшее значение достигается в вершине:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{7}{2\cdot(-3)}=\frac{7}{6}.$$

Подставим это значение в $$F(x)$$ и приравняем максимум к $$4$$:

$$F\!\left(\frac{7}{6}\right)=7\cdot\frac{7}{6}-3\left(\frac{7}{6}\right)^2+C=4.$$

$$\frac{49}{6}-3\cdot\frac{49}{36}+C=4,$$

$$\frac{49}{6}-\frac{147}{36}+C=4,$$

$$\frac{147}{36}+C=4,$$

$$C=4-\frac{147}{36}=-\frac{1}{12}.$$

Следовательно,

$$F(x)=7x-3x^2-\frac{1}{12}.$$

б)

$$f(x)=3-2x$$

Тогда

$$F(x)=\int (3-2x)\,dx=3x-x^2+C.$$

Это парабола с ветвями вниз. Координата вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac{3}{2}.$$

Подставим вершину и потребуем, чтобы наибольшее значение было равно $$4$$:

$$F\!\left(\frac{3}{2}\right)=3\cdot\frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2+C=4.$$

$$\frac{9}{2}-\frac{9}{4}+C=4,$$

$$\frac{9}{4}+C=4,$$

$$C=\frac{7}{4}.$$

Значит,

$$F(x)=3x-x^2+\frac{7}{4}.$$

Ответ

а) $$F(x)=7x-3x^2-\frac{1}{12}$$; б) $$F(x)=3x-x^2+\frac{7}{4}$$.