Упр.20.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдём производные данных функций и убедимся, что они совпадают с $$f(x)$$.
$$F(x)=4\sqrt{x}+\tg x,\qquad f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\cos^2 x}.$$
$$F'(x)=(4\sqrt{x})’+(\tg x)’=\frac{4}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\cos^2 x}=f(x).$$
$$F(x)=3\ctg x-\sqrt{x},\qquad f(x)=-\frac{3}{\sin^2 x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
$$F'(x)=(3\ctg x)’- (\sqrt{x})’=-\frac{3}{\sin^2 x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=f(x).$$
$$F(x)=\ln(2x-1)-\frac{1}{2x-1},\qquad f(x)=\frac{4x}{(2x-1)^2}.$$
$$F'(x)=\left(\ln(2x-1)\right)’-\left(\frac{1}{2x-1}\right)’ \\\\ =\frac{2}{2x-1}+\frac{2}{(2x-1)^2} \\\\ =\frac{2(2x-1)+2}{(2x-1)^2}=\frac{4x}{(2x-1)^2}=f(x).$$
$$F(x)=\frac{5}{3}\sqrt[5]{\sin^3 x},\qquad f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}.$$
Представим функцию в виде степени:
$$F(x)=\frac{5}{3}(\sin x)^{3/5}.$$
Тогда
$$F'(x)=\frac{5}{3}\cdot \frac{3}{5}(\sin x)^{-2/5}\cdot \cos x =\frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}=f(x).$$
Следовательно, во всех пунктах функция $$y=F(x)$$ является первообразной функции $$y=f(x)$$.
