Упр.20.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём первообразную $$F(x)$$ и используем условие $$F(x_0)=0$$.

а)

$$f(x)=2\sin 2x,\qquad x_0=\frac{\pi}{2}.$$

Все первообразные функции:

$$F(x)=\int 2\sin 2x\,dx=-\cos 2x+C.$$

Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$ получаем:

$$-\cos \pi + C=0,$$
$$1+C=0,$$
$$C=-1.$$

Тогда

$$F(x)=-\cos 2x-1.$$

Решаем уравнение $$F(x)=0$$:

$$-\cos 2x-1=0,$$
$$\cos 2x=-1,$$
$$2x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$f(x)=2\cos 0{,}5x,\qquad x_0=\frac{\pi}{3}.$$

Все первообразные функции:

$$F(x)=\int 2\cos 0{,}5x\,dx=4\sin 0{,}5x+C.$$

Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$$ получаем:

$$4\sin\frac{\pi}{6}+C=0,$$
$$2+C=0,$$
$$C=-2.$$

Тогда

$$F(x)=4\sin 0{,}5x-2.$$

Решаем уравнение $$F(x)=0$$:

$$4\sin 0{,}5x-2=0,$$
$$\sin 0{,}5x=\frac12,$$
$$0{,}5x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 0{,}5x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n \ \text{или}\ x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$