Упр.20.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 20.28. Решите уравнение $$F(x)=0$$, где $$y=F(x)$$ — первообразная для функции $$y=f(x)$$, если известно, что $$F(x_0)=0$$.
   а) $$f(x)=3x^2-2x-25$$, $$x_0=1$$;
   б) $$f(x)=3x^2+4x-1$$, $$x_0=-2$$.

Найдём первообразную функции и используем условие $$F(x_0)=0$$.

а)

$$f(x)=3x^2-2x-25,\quad x_0=1.$$

Все первообразные:

$$F(x)=\int (3x^2-2x-25)\,dx=x^3-x^2-25x+C.$$

Из условия $$F(1)=0$$ получаем:

$$1^3-1^2-25\cdot 1+C=0,$$

$$C=25.$$

Тогда

$$x^3-x^2-25x+25=0.$$

Разложим на множители:

$$x^2(x-1)-25(x-1)=0,$$

$$(x-1)(x^2-25)=0,$$

$$(x-1)(x-5)(x+5)=0.$$

Отсюда

$$x=-5,\;1,\;5.$$

б)

$$f(x)=3x^2+4x-1,\quad x_0=-2.$$

Все первообразные:

$$F(x)=\int (3x^2+4x-1)\,dx=x^3+2x^2-x+C.$$

Из условия $$F(-2)=0$$ получаем:

$$(-2)^3+2\cdot(-2)^2-(-2)+C=0,$$

$$-8+8+2+C=0,$$

$$C=-2.$$

Тогда

$$x^3+2x^2-x-2=0.$$

Разложим на множители:

$$x^2(x+2)-1(x+2)=0,$$

$$(x+2)(x^2-1)=0,$$

$$(x+2)(x-1)(x+1)=0.$$

Отсюда

$$x=-2,\;-1,\;1.$$

Ответ

а) $$-5,\;1,\;5$$; б) $$-2,\;-1,\;1$$.