Упр.20.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для функции $$y=f(x)$$ найдите первообразную $$y=F(x)$$, которая принимает данное значение в указанной точке:
   а) $$f(x)=\frac{12}{\sqrt{3x-6}}+1,\quad F(5)=4$$;
   б) $$f(x)=\frac{-3}{\sqrt{5x+4}}-8,\quad F(1)=-12$$.

Найдём первообразную для каждой функции и подберём константу по заданному значению.

1. $$f(x)=\frac{12}{\sqrt{3x-6}}+1=12(3x-6)^{-\frac12}+1.$$

   Тогда

   $$F(x)=12\cdot \frac{(3x-6)^{\frac12}}{3\cdot \frac12}+x+C=8\sqrt{3x-6}+x+C.$$

   Используем условие $$F(5)=4$$:

   $$8\sqrt{3\cdot 5-6}+5+C=4,$$

   $$8\sqrt9+5+C=4,$$

   $$24+5+C=4,$$

   $$C=-25.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=8\sqrt{3x-6}+x-25.$$

2. $$f(x)=\frac{-3}{\sqrt{5x+4}}-8=-3(5x+4)^{-\frac12}-8.$$

   Тогда

   $$F(x)=-3\cdot \frac{(5x+4)^{\frac12}}{5\cdot \frac12}-8x+C=-\frac65\sqrt{5x+4}-8x+C.$$

   Используем условие $$F(1)=-12$$:

   $$-\frac65\sqrt{5\cdot 1+4}-8\cdot 1+C=-12,$$

   $$-\frac65\cdot 3-8+C=-12,$$

   $$-\frac{18}{5}-8+C=-12,$$

   $$C=\frac25.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\frac65\sqrt{5x+4}-8x+\frac25.$$

Ответ

а) $$F(x)=8\sqrt{3x-6}+x-25$$;

б) $$F(x)=-\frac65\sqrt{5x+4}-8x+\frac25$$.